[tex]\bold{\underline{Rules \: :}}[/tex]
[tex]✎ \: No \: Calcu \: ☑[/tex]
[tex]✎\: No \: bahasa \: alien \: ☑︎ [/tex]
[tex]✎ \: No \: Jawab \: Dikomen \: ☑︎ [/tex]
[tex]✎ \: Memakai \: Cara \: ☑︎[/tex]
Pendahuluan:
Untuk menjawab soal geometri transformasi linear pada bidang [tex]\mathbb{R}^2[/tex] kita bisa melihat dua titik yang dinamakan "basis standar" pada [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Titik-titik ini adalah
[tex]\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} \text{ \ \ dan \ \ } \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex]
Semua transformasi (linear) pada sembarang titik [tex]\vec{v}[/tex] di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dapat direpresentasikan sebagai matriks [tex]M[/tex]. Matriks transformasi ini selalu berbentuk
[tex]M = [ M\vec{e}_1 \ | \ M\vec{e}_2 ][/tex]
Dimana [tex]M\vec{e}_1[/tex] adalah vektor kolom bayangan dari [tex]\vec{e_1}[/tex] apabila ditransformasikan [tex]M[/tex], dan
[tex]M\vec{e}_2[/tex] adalah vektor kolom bayangan dari [tex]\vec{e_2}[/tex] apabila ditransformasikan [tex]M[/tex].
nanti, bayangan dari [tex]\vec{v}[/tex] yang ditransformasikan dapat dicari dengan mencari vektor
[tex]\vec{y} = M \vec{v} = [M\vec{e}_1 \ | \ M\vec{e}_2 ] \vec{v}[/tex]
(perkalian matriks dengan vektor).
Jawab:
Untuk mencari soal diatas, kita perlu cari dua matriks
- Matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam
- Matriks refleksi terhadap garis y = x.
Kemudian mencari bayangan dari [tex]\vec{v} = (3,5)[/tex] yang dikenakan dua transformasi/matriks diatas.
1. Cari matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam :
untuk mencari matriks rotasi 90⁰ berlawanan arah jarum jam, namakan matriks [tex]S[/tex]. Perhatikan jika kita punya
[tex]\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} \text{ \ \ dan \ \ } \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex]
maka
[tex]S = [ S\vec{e}_1 \ | \ S\vec{e}_2 ] = \left[S\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ S\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right][/tex]
jika kita rotasikan [tex]\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}[/tex] terhadap [tex]S[/tex] didapat
[tex]S\vec{e}_1 = S \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex]
jika kita rotasikan [tex]\vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex] terhadap [tex]S[/tex] didapat
[tex]S\vec{e}_2 = S \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}[/tex]
Akibatnya matriks [tex]S[/tex] didapat sebagai
[tex]S = [ S\vec{e}_1 \ | \ S\vec{e}_2 ] = \left[S\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ S\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right] = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}[/tex]
2. Cari matriks refleksi terhadap garis y = x.
untuk mencari matriks refleksi terhadap garis y = x, namakan matriks [tex]T[/tex]. Perhatikan jika kita punya
[tex]\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} \text{ \ \ dan \ \ } \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex]
maka
[tex]T = [ T\vec{e}_1 \ | \ T\vec{e}_2 ] = \left[T\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ T\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right][/tex]
jika kita refleksikan [tex]\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}[/tex] terhadap [tex]T[/tex] didapat
[tex]T\vec{e}_1 = T \begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex]
jika kita refleksikan [tex]\vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}[/tex] terhadap [tex]T[/tex] didapat
[tex]T\vec{e}_2 = T \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}[/tex]
Akibatnya matriks [tex]T[/tex] didapat sebagai
[tex]T = [ T\vec{e}_1 \ | \ T\vec{e}_2 ] = \left[T\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \ \ T\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} \ \right] = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}[/tex]
Bayangan dari [tex]\vec{v} = (3,5)[/tex]
Untuk mencari bayangan dari [tex]\vec{v} = (3,5)[/tex] pertama kita harus lakukan rotasi (kalikan dengan [tex]S[/tex]) terlebih dahulu, lalu refleksikan (kalikan dengan [tex]T[/tex])
Akibatnya, bayangan dari [tex]\vec{v} = (3,5)[/tex] adalah [tex]\vec{y}[/tex], dimana
[tex]\vec{y} = T (S \vec{v})[/tex]
kita kalikan [tex]S\vec{v}[/tex] terlebih dahulu karena kita rotasi terlebih dahulu!
akibatnya
[tex]\vec{y} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\\5 \end{bmatrix}[/tex]
Jadi bayangan dari [tex]\vec{v} = (3,5)[/tex] adalah [tex]\vec{y} = (-3,5)[/tex].
[answer.2.content]